Übersicht der Potenzgesetze

Die Potenzgesetze vereinfachen den Umgang mit Potenzen und helfen uns, Berechnungen schneller und effizienter durchzuführen. Sie gelten in vielen mathematischen Bereichen und sind besonders nützlich beim Lösen von Gleichungen und Umformen von Ausdrücken.

Im Folgenden findest du eine Übersicht der wichtigsten Potenzgesetze, die dir das Rechnen erleichtern.

Multiplikation von Potenzen → Addition der Exponenten:

Wenn du zwei Potenzen mit derselben Basis multiplizierst, addierst du einfach die Exponenten.

\(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)

Beispiel:

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

Division von Potenzen → Subtraktion der Exponenten:

Teilst du Potenzen mit derselben Basis, subtrahierst du die Exponenten voneinander.

\(x^a : x^b = x^{a-b}\)

Beispiel:

\(5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625\)

Potenzen potenzieren → Multiplikation der Exponenten:

Wird eine Potenz nochmals potenziert, multiplizieren sich die Exponenten.

\((x^a)^b = x^{a \cdot b}\)

Beispiel:

\((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729\)

Multiplikation der Potenzen bei unterschiedlichen Basen und gleichen Exponenten:

Hier multiplizierst du die Basen, behältst aber den gemeinsamen Exponenten bei.

\(x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n\)

Beispiel:

\(2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\)

Division der Potenzen bei unterschiedlichen Basen und gleichen Exponenten:

Bei der Division der Potenzen mit unterschiedlichen Basen teilst du die Basen und behältst den Exponenten bei.

\(\frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n\)

Beispiel:

\(\frac{8^2}{4^2} = \left(\frac{8}{4}\right)^2 = 2^2 = 4\)

Potenzen mit dem Exponenten Null ergeben immer Eins (Sonderfall \(0^0\)):

Eine Zahl hoch null ergibt immer 1, mit der Ausnahme des Spezialfalls \(0^0\).

\(x^0 = 1\)

Beispiel:

\(7^0 = 1\)

Potenzen mit hoch Eins, der Potenzwert entspricht der Basis:

Eine Potenz mit dem Exponenten Eins ist immer die Zahl selbst.

\(x^1 = x\)

Beispiel:

\(9^1 = 9\)

Potenzen mit negativem Exponent:

Ein negativer Exponent kehrt die Potenz um, was einem Bruch entspricht.

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

Beispiel:

\(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)